Propriétés de l'orthogonal : énoncé (MPSI)

Propriété

Propriétés de l'orthogonal

Pour toutes parties $A,B$ et tout sous-espace $F$ de $E$ :

$A^\perp$ est un sous-espace vectoriel de $E$ (même si $A$ n'en est pas un).
$\{0\}^\perp=E$ et $E^\perp=\{0\}$.
Si $A\subset B$, alors $B^\perp\subset A^\perp$.
$A^\perp=\big(\operatorname{Vect}A\big)^\perp$. En particulier, si $F=\operatorname{Vect}(f_1,\dots,f_p)$, alors $x\in F^\perp\iff\langle x,f_i\rangle=0$ pour tout $i$.
$F\cap F^\perp=\{0\}$.
$F\subset (F^\perp)^\perp$.

Démonstration : Propriétés de l'orthogonal

Démonstration

Preuve

$0\in A^\perp$. Si $x,y\in A^\perp$ et $\lambda\in\mathbb{R}$, pour tout $a\in A$ : $\langle\lambda x+y,a\rangle=\lambda\langle x,a\rangle+\langle y,a\rangle=0$.
Tout vecteur est orthogonal à $0$. Si $x\in E^\perp$, alors $\langle x,x\rangle=0$ donc $x=0$.
Si $x$ est orthogonal à tout élément de $B$, il l'est à tout élément de $A\subset B$.
$A\subset\operatorname{Vect}A$ donne $(\operatorname{Vect}A)^\perp\subset A^\perp$ par 3. Réciproquement, si $x\in A^\perp$, l'application linéaire $y\mapsto\langle x,y\rangle$ est nulle sur $A$, donc sur toute combinaison linéaire d'éléments de $A$.
Si $x\in F\cap F^\perp$, alors $x\perp x$, donc $\|x\|^2=0$ et $x=0$.
Si $x\in F$, pour tout $y\in F^\perp$, $\langle x,y\rangle=0$ : $x\in(F^\perp)^\perp$.

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