Prépa, 1re année › Espaces préhilbertiens réels › Déterminer l'orthogonal d'un sous-espace
Déterminer l'orthogonal d'un sous-espace : méthode (MPSI)
Méthode
Déterminer l'orthogonal d'un sous-espace
- Trouver une famille génératrice $(f_1,\dots,f_p)$ de $F$.
- Écrire $x\in F^\perp\iff\langle x,f_1\rangle=\dots=\langle x,f_p\rangle=0$ : c'est un système linéaire homogène de $p$ équations.
- Résoudre le système ; en dimension finie, contrôler que $\dim F+\dim F^\perp=\dim E$.
- Astuce : si l'on connaît un sous-espace $G$ orthogonal à $F$ avec $\dim G=\dim E-\dim F$, alors $G=F^\perp$ sans calcul (inclusion plus égalité des dimensions).
Exemple : dans $\mathbb{R}^3$ canonique, $F=\operatorname{Vect}((1,1,0),(1,0,1))$. On résout $x+y=0$ et $x+z=0$ : $F^\perp=\operatorname{Vect}((-1,1,1))$, ce qu'on retrouve avec $e_3$ de la section 4.
S’entraîner
- Un produit scalaire non canonique sur $\mathbb{R}^2$
- Une inégalité classique par Cauchy-Schwarz
- Orthogonal d'un plan de $\mathbb{R}^4$
- Base orthonormée de $\mathbb{R}_2[X]$ pour l'intégrale sur $[0,1]$
- Distance à l'hyperplan des matrices de trace nulle
Dans le cours
Espaces préhilbertiens réels : Déterminer l'orthogonal d'un sous-espace