Déterminer l'orthogonal d'un sous-espaceUtiliser $(F^\perp)^\perp=F$ en dimension finie
Dans $\mathbb{R}^4$ muni du produit scalaire canonique, on pose $F=\operatorname{Vect}(f_1,f_2)$ avec $f_1=(1,1,1,1)$ et $f_2=(1,-1,0,2)$.
- Déterminer une base de $F^\perp$.
- Vérifier la relation entre les dimensions.
- En déduire un système de deux équations linéaires dont l'ensemble des solutions est $F$.
Indice 1
Un vecteur est dans $F^\perp$ si et seulement s'il est orthogonal à $f_1$ et à $f_2$.
Indice 2
Résoudre le système en exprimant deux inconnues en fonction des deux autres.
Indice 3
Pour la question 3, utiliser $F=(F^\perp)^\perp$, valable car $\mathbb{R}^4$ est euclidien.
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