Exercice corrigé : Polynômes de Legendre et distance de $X^n$ à $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ (type Mines-Ponts)

On munit $E=\mathbb{R}[X]$ du produit scalaire $\langle P,Q\rangle=\displaystyle\int_{-1}^1P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t$ (on admet qu'il s'agit d'un produit scalaire, la preuve étant celle du cours sur $[0,1]$). Pour $n\in\mathbb{N}$, on pose $$U_n=(X^2-1)^n,\qquad L_n=U_n^{(n)}\quad(\text{dérivée }n\text{-ième, avec }L_0=1).$$

1. a) Montrer que $\deg L_n=n$ et que son coefficient dominant est $c_n=\dfrac{(2n)!}{n!}$. b) Calculer $L_1$ et $L_2$.
2. Soit $n\geqslant1$. a) Montrer que pour $0\leqslant k\leqslant n-1$, $U_n^{(k)}(1)=U_n^{(k)}(-1)=0$. b) Montrer que pour tout $Q\in\mathbb{R}[X]$ : $\langle L_n,Q\rangle=(-1)^n\displaystyle\int_{-1}^1U_n(t)Q^{(n)}(t)\,\mathrm{d}t$. c) En déduire que $L_n$ est orthogonal à $\mathbb{R}_{n-1}[X]$, puis que $(L_0,\dots,L_n)$ est une base orthogonale de $\mathbb{R}_n[X]$.
3. On pose $I_n=\displaystyle\int_{-1}^1(1-t^2)^n\,\mathrm{d}t$. a) Montrer que pour $n\geqslant1$, $I_n=\dfrac{2n}{2n+1}I_{n-1}$. b) En déduire $I_n=\dfrac{2^{2n+1}(n!)^2}{(2n+1)!}$. c) Montrer que $\|L_n\|^2=(2n)!\,I_n=\dfrac{2^{2n+1}(n!)^2}{2n+1}$.
4. Soit $n\geqslant1$. Montrer que $$d\big(X^n,\mathbb{R}_{n-1}[X]\big)^2=\frac{2^{2n+1}(n!)^4}{(2n)!\,(2n+1)!}$$ et donner la projection orthogonale de $X^n$ sur $\mathbb{R}_{n-1}[X]$. Vérifier pour $n=1$ et $n=2$.
5. Calculer $\displaystyle\min_{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3}\int_{-1}^1\big(t^3-a-bt-ct^2\big)^2\,\mathrm{d}t$ et le triplet qui le réalise.