Existence de bases orthonormées : énoncé (MPSI)

Existence : on applique le procédé de Gram-Schmidt à une base quelconque $(v_1,\dots,v_n)$ ; on obtient une famille orthonormée de $n$ vecteurs, donc libre de cardinal $n=\dim E$ : c'est une base.

Complétion : soit $(e_1,\dots,e_p)$ orthonormée. Elle est libre ; par le théorème de la base incomplète, on la complète en une base $(e_1,\dots,e_p,v_{p+1},\dots,v_n)$. Gram-Schmidt appliqué à cette base ne modifie pas $e_1,\dots,e_p$ (à chaque étape $k\leqslant p$, $w_k=e_k$ car $\langle e_i,e_k\rangle=0$ pour $i<k$, et $\|e_k\|=1$) et fournit une BON qui commence par $e_1,\dots,e_p$.