Procédé de Gram-Schmidt : énoncé (MPSI)

Notons $F_k=\operatorname{Vect}(v_1,\dots,v_k)$, de dimension $k$ puisque la famille est libre.

Existence, par récurrence sur $k$. Pour $k=1$ : $v_1\neq 0$ car la famille est libre, $e_1=v_1/\|v_1\|$ est unitaire, $\operatorname{Vect}(e_1)=F_1$ et $\langle e_1,v_1\rangle=\|v_1\|>0$.

Supposons construits $e_1,\dots,e_{k-1}$ orthonormés avec $\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_{k-1})=F_{k-1}$. Posons $w_k=v_k-\sum_{i<k}\langle e_i,v_k\rangle e_i$.

• $w_k\neq 0$ : sinon $v_k\in\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_{k-1})=F_{k-1}$, ce qui contredit la liberté de $(v_1,\dots,v_k)$.
• Pour $j<k$ : $\langle e_j,w_k\rangle=\langle e_j,v_k\rangle-\sum_{i<k}\langle e_i,v_k\rangle\langle e_j,e_i\rangle=\langle e_j,v_k\rangle-\langle e_j,v_k\rangle=0$.

Ainsi $e_k=w_k/\|w_k\|$ est unitaire et orthogonal à $e_1,\dots,e_{k-1}$ : la famille $(e_1,\dots,e_k)$ est orthonormée. Par construction $e_k\in F_k$, donc $\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k)\subset F_k$ ; la première famille est libre (orthonormée) de cardinal $k$ et $\dim F_k=k$, d'où l'égalité. Enfin, comme $v_k=w_k+\sum_{i<k}\langle e_i,v_k\rangle e_i$ et $e_k\perp e_i$ pour $i<k$ : $$\langle e_k,v_k\rangle=\langle e_k,w_k\rangle=\|w_k\|>0.$$

Unicité. Soit $(e'_1,\dots,e'_p)$ une autre famille convenable. Par récurrence, supposons $e'_i=e_i$ pour $i<k$. Alors $e'_k\in F_k$ et $e'_k$ est orthogonal à $F_{k-1}=\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_{k-1})$. Décomposons $e'_k=\sum_{i\leqslant k}\alpha_ie_i$ dans la base orthonormée $(e_1,\dots,e_k)$ de $F_k$ : $\alpha_i=\langle e_i,e'_k\rangle=0$ pour $i<k$, donc $e'_k=\alpha_ke_k$ avec $|\alpha_k|=1$. La condition $\langle e'_k,v_k\rangle=\alpha_k\|w_k\|>0$ impose $\alpha_k=1$.