Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, on considère $$v_1=(1,2,2),\qquad v_2=(1,1,0),\qquad v_3=(0,0,1).$$
- Montrer que $(v_1,v_2,v_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$.
- Lui appliquer le procédé de Gram-Schmidt. On notera $(e_1,e_2,e_3)$ la base orthonormée obtenue.
- Vérifier que la famille obtenue est orthonormée.
Pour la question 1, calculer un déterminant en développant selon une colonne qui contient des zéros.
À chaque étape, retrancher les composantes sur les $e_i$ déjà construits, pas sur les $v_i$.
Les normes successives sont $3$, puis $1$, puis $\frac13$ : les calculs restent sans radical.
1. La matrice de la famille dans la base canonique est $$\begin{pmatrix}1&1&0\\2&1&0\\2&0&1\end{pmatrix}.$$ En développant selon la troisième colonne, son déterminant vaut $1\cdot(1\cdot1-1\cdot2)=-1\neq0$. La famille est libre de cardinal $3$ : c'est une base.
2. Étape 1 : $\|v_1\|=\sqrt{1+4+4}=3$, donc $e_1=\frac13(1,2,2)$.
Étape 2 : $\langle e_1,v_2\rangle=\frac{1+2+0}{3}=1$, donc $$w_2=v_2-e_1=(1,1,0)-\left(\tfrac13,\tfrac23,\tfrac23\right)=\left(\tfrac23,\tfrac13,-\tfrac23\right).$$ $\|w_2\|^2=\frac{4+1+4}{9}=1$, donc $e_2=w_2=\frac13(2,1,-2)$.
Étape 3 : $\langle e_1,v_3\rangle=\frac23$ et $\langle e_2,v_3\rangle=-\frac23$. Donc $$w_3=v_3-\tfrac23e_1+\tfrac23e_2=(0,0,1)-\tfrac29(1,2,2)+\tfrac29(2,1,-2)=\left(\tfrac29,-\tfrac29,\tfrac19\right).$$ $\|w_3\|^2=\frac{4+4+1}{81}=\frac19$, donc $\|w_3\|=\frac13$ et $e_3=3w_3=\frac13(2,-2,1)$.
3. Chaque $e_i$ est de norme $1$ (les sommes des carrés des coordonnées entières valent $9$). Produits scalaires : $$9\langle e_1,e_2\rangle=2+2-4=0,\quad 9\langle e_1,e_3\rangle=2-4+2=0,\quad 9\langle e_2,e_3\rangle=4-2-2=0.$$ La famille est orthonormée. On vérifie aussi $\langle e_k,v_k\rangle>0$ : $\langle e_1,v_1\rangle=3$, $\langle e_2,v_2\rangle=1$, $\langle e_3,v_3\rangle=\frac13$.
$e_1=\frac13(1,2,2)$, $e_2=\frac13(2,1,-2)$, $e_3=\frac13(2,-2,1)$