Soit $n\geqslant1$ et $x_1,\dots,x_n$ des réels strictement positifs.
- Montrer que $$\Big(\sum_{i=1}^n x_i\Big)\Big(\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}\Big)\geqslant n^2.$$
- Déterminer les cas d'égalité.
- En déduire la valeur de $\displaystyle\min_{(a,b,c)\in(\mathbb{R}_+^*)^3}(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)$.
Écrire $n=\sum_{i=1}^n 1$ et chaque $1$ comme un produit de deux facteurs faisant intervenir $x_i$.
Appliquer Cauchy-Schwarz dans $\mathbb{R}^n$ canonique à deux vecteurs bien choisis.
Pour l'égalité, traduire la colinéarité des deux vecteurs coordonnée par coordonnée.
1. Dans $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire canonique, on pose $u=(\sqrt{x_1},\dots,\sqrt{x_n})$ et $v=\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}},\dots,\frac{1}{\sqrt{x_n}}\right)$, bien définis car $x_i>0$. Alors $$\langle u,v\rangle=\sum_{i=1}^n\sqrt{x_i}\cdot\frac{1}{\sqrt{x_i}}=n,\qquad\|u\|^2=\sum_{i=1}^nx_i,\qquad\|v\|^2=\sum_{i=1}^n\frac1{x_i}.$$ L'inégalité de Cauchy-Schwarz $\langle u,v\rangle^2\leqslant\|u\|^2\|v\|^2$ donne exactement $n^2\leqslant\Big(\sum x_i\Big)\Big(\sum\frac1{x_i}\Big)$.
2. Il y a égalité si et seulement si $(u,v)$ est liée. Comme $v\neq0$, cela équivaut à l'existence de $\lambda\in\mathbb{R}$ tel que $u=\lambda v$, soit $\sqrt{x_i}=\frac{\lambda}{\sqrt{x_i}}$, c'est-à-dire $x_i=\lambda$ pour tout $i$. Réciproquement, si tous les $x_i$ valent $c>0$, le produit vaut $nc\cdot\frac nc=n^2$. L'égalité a lieu si et seulement si $x_1=\dots=x_n$.
3. Avec $n=3$, le produit est toujours supérieur ou égal à $9$, et vaut $9$ pour $a=b=c$ (par exemple $a=b=c=1$). Le minimum existe et vaut $9$ ; il est atteint exactement lorsque $a=b=c$.
$9$, atteint si et seulement si $a=b=c$