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Prépa, 1re année › Espaces préhilbertiens réels › Orthonormaliser une famille libre

Orthonormaliser une famille libre : méthode (MPSI)

Méthode

Orthonormaliser une famille libre

  1. Poser $e_1=v_1/\|v_1\|$.
  2. Pour $k=2,\dots,p$ : calculer les produits scalaires $\langle e_i,v_k\rangle$ pour $i<k$, former $w_k=v_k-\sum_{i<k}\langle e_i,v_k\rangle e_i$, puis $e_k=w_k/\|w_k\|$.
  3. Contrôler : $\langle e_k,e_i\rangle=0$ pour $i<k$. Un contrôle faux signale une erreur de calcul.

Variante pour éviter les racines carrées : construire d'abord une famille seulement orthogonale $(w_1,\dots,w_p)$ avec $$w_1=v_1,\qquad w_k=v_k-\sum_{i<k}\frac{\langle w_i,v_k\rangle}{\|w_i\|^2}w_i,$$ puis normaliser tous les vecteurs à la fin. On peut aussi remplacer un $w_k$ par un multiple non nul (par exemple pour supprimer des fractions) : l'orthogonalité est conservée.

Exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique

On orthonormalise $v_1=(1,1,0)$, $v_2=(1,0,1)$, $v_3=(0,1,1)$.

  • $\|v_1\|=\sqrt2$, donc $e_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,1,0)$.
  • $\langle e_1,v_2\rangle=\frac1{\sqrt2}$, donc $w_2=v_2-\frac12(1,1,0)=\left(\frac12,-\frac12,1\right)$. Alors $\|w_2\|^2=\frac14+\frac14+1=\frac32$ et $e_2=\frac{1}{\sqrt6}(1,-1,2)$.
  • $\langle e_1,v_3\rangle=\frac1{\sqrt2}$ et $\langle e_2,v_3\rangle=\frac{0-1+2}{\sqrt6}=\frac1{\sqrt6}$. Donc $$w_3=(0,1,1)-\frac12(1,1,0)-\frac16(1,-1,2)=\left(-\frac23,\frac23,\frac23\right),$$ et $e_3=\frac1{\sqrt3}(-1,1,1)$.

Contrôle : $\langle(1,1,0),(-1,1,1)\rangle=0$, $\langle(1,-1,2),(-1,1,1)\rangle=-1-1+2=0$, $\langle(1,1,0),(1,-1,2)\rangle=0$.

Exemple

Sur des polynômes

Dans $\mathbb{R}_2[X]$ muni de $\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t$, on orthogonalise $(1,X,X^2)$ par la variante sans racines.

  • $w_1=1$, $\|w_1\|^2=2$.
  • $\langle 1,X\rangle=\int_{-1}^1t\,\mathrm{d}t=0$, donc $w_2=X$, $\|w_2\|^2=\int_{-1}^1t^2\,\mathrm{d}t=\frac23$.
  • $\langle 1,X^2\rangle=\frac23$ et $\langle X,X^2\rangle=\int_{-1}^1t^3\,\mathrm{d}t=0$, donc $w_3=X^2-\frac{2/3}{2}\cdot1=X^2-\frac13$.

Calcul de $\|w_3\|^2=\int_{-1}^1\left(t^4-\frac23t^2+\frac19\right)\mathrm{d}t=\frac25-\frac49+\frac29=\frac{8}{45}$.

Base orthonormée obtenue : $$\left(\frac{1}{\sqrt2},\ \sqrt{\frac32}\,X,\ \sqrt{\frac{45}{8}}\left(X^2-\frac13\right)\right).$$

S’entraîner

Dans le cours

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