Pour $x=(x_1,x_2)$ et $y=(y_1,y_2)$ dans $\mathbb{R}^2$, on pose $$\varphi(x,y)=2x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2.$$
- Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^2$.
- On note $e_1=(1,0)$ et $e_2=(0,1)$. Ces vecteurs sont-ils orthogonaux pour $\varphi$ ?
- Déterminer une base orthonormée $(f_1,f_2)$ de $(\mathbb{R}^2,\varphi)$ telle que $f_1$ soit colinéaire à $e_1$ et de même sens.
Pour la symétrie, comparer les termes croisés $x_1y_2$ et $x_2y_1$ après échange de $x$ et $y$.
Pour la positivité et le caractère défini, écrire $\varphi(x,x)$ comme une somme de deux carrés.
Pour la question 3, chercher $(a,b)$ tel que $\varphi(e_1,(a,b))=0$, puis normaliser chaque vecteur avec la norme associée à $\varphi$.
1. $\varphi$ est à valeurs réelles.
Symétrie : $\varphi(y,x)=2y_1x_1+y_1x_2+y_2x_1+y_2x_2$. Les termes $y_1x_2$ et $y_2x_1$ sont exactement $x_2y_1$ et $x_1y_2$, donc $\varphi(y,x)=\varphi(x,y)$.
Linéarité à gauche : pour $y$ fixé, $\varphi(x,y)=(2y_1+y_2)x_1+(y_1+y_2)x_2$ est une forme linéaire en $x$. Par symétrie, $\varphi$ est bilinéaire.
Positivité : $$\varphi(x,x)=2x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=x_1^2+(x_1+x_2)^2\geqslant0.$$
Caractère défini : si $\varphi(x,x)=0$, une somme de deux carrés est nulle, donc $x_1=0$ et $x_1+x_2=0$, d'où $x_2=0$ et $x=0$.
$\varphi$ est donc un produit scalaire sur $\mathbb{R}^2$.
2. $\varphi(e_1,e_2)=2\cdot1\cdot0+1\cdot1+0\cdot0+0\cdot1=1\neq0$. Les vecteurs $e_1$ et $e_2$ ne sont pas orthogonaux pour $\varphi$ : l'orthogonalité dépend du produit scalaire choisi.
3. $\varphi(e_1,e_1)=2$, donc $\|e_1\|_\varphi=\sqrt2$ et $f_1=\frac{1}{\sqrt2}e_1$ est unitaire, colinéaire à $e_1$ et de même sens.
Un vecteur $(a,b)$ est orthogonal à $e_1$ si et seulement si $\varphi(e_1,(a,b))=2a+b=0$. On prend $u=(1,-2)$. Alors $\varphi(u,u)=1^2+(1-2)^2=2$. On pose $f_2=\frac{1}{\sqrt2}u$, qui est unitaire et orthogonal à $f_1$.
La famille $(f_1,f_2)$ est orthonormée, donc libre, et compte $2=\dim\mathbb{R}^2$ vecteurs : c'est une base orthonormée de $(\mathbb{R}^2,\varphi)$. On peut aussi prendre $-f_2$ comme second vecteur.
$f_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,0)$, $f_2=\frac{1}{\sqrt2}(1,-2)$