On munit $\mathbb{R}_2[X]$ du produit scalaire $\langle P,Q\rangle=\displaystyle\int_0^1P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t$.
- Orthonormaliser la base $(1,X,X^2)$ par le procédé de Gram-Schmidt.
- En déduire la projection orthogonale de $X^2$ sur $\mathbb{R}_1[X]$ et la distance $d(X^2,\mathbb{R}_1[X])$.
Utiliser la variante sans racines : construire d'abord une famille orthogonale $(w_1,w_2,w_3)$, puis normaliser.
On a $\langle 1,X^k\rangle=\frac{1}{k+1}$ et $\langle X^j,X^k\rangle=\frac{1}{j+k+1}$.
Pour la question 2, écrire $X^2$ comme $w_3$ plus un élément de $\mathbb{R}_1[X]$.
1. On rappelle que $\langle X^j,X^k\rangle=\int_0^1t^{j+k}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{j+k+1}$.
- $w_1=1$, $\|w_1\|^2=1$.
- $w_2=X-\frac{\langle 1,X\rangle}{\|1\|^2}\cdot1=X-\frac12$. Puis $\|w_2\|^2=\int_0^1\left(t-\frac12\right)^2\mathrm{d}t=\left[\frac{(t-\frac12)^3}{3}\right]_0^1=\frac13\left(\frac18+\frac18\right)=\frac1{12}$.
- $\langle 1,X^2\rangle=\frac13$ et $\langle w_2,X^2\rangle=\frac14-\frac12\cdot\frac13=\frac1{12}$. Donc $$w_3=X^2-\frac13\cdot1-\frac{1/12}{1/12}\left(X-\frac12\right)=X^2-X+\frac16.$$
Contrôles : $\langle 1,w_3\rangle=\frac13-\frac12+\frac16=0$ et $\langle X,w_3\rangle=\frac14-\frac13+\frac1{12}=0$, donc $w_3\perp\operatorname{Vect}(1,X)$.
Norme de $w_3$ : $\left(t^2-t+\frac16\right)^2=(t^2-t)^2+\frac13(t^2-t)+\frac1{36}$, avec $\int_0^1(t^2-t)^2\,\mathrm{d}t=\frac15-\frac12+\frac13=\frac1{30}$ et $\int_0^1(t^2-t)\,\mathrm{d}t=-\frac16$. Donc $$\|w_3\|^2=\frac1{30}-\frac1{18}+\frac1{36}=\frac{6-10+5}{180}=\frac1{180}.$$
En normalisant ($\sqrt{12}=2\sqrt3$ et $\sqrt{180}=6\sqrt5$), on obtient la base orthonormée $$e_1=1,\qquad e_2=2\sqrt3\left(X-\tfrac12\right)=\sqrt3(2X-1),\qquad e_3=6\sqrt5\left(X^2-X+\tfrac16\right)=\sqrt5(6X^2-6X+1).$$ Les coefficients dominants sont positifs, ce qui correspond à $\langle e_k,v_k\rangle>0$ (par exemple $\langle e_3,X^2\rangle=\langle e_3,w_3\rangle=\|w_3\|\cdot6\sqrt5\cdot\|w_3\|>0$).
2. D'après la construction, $X^2=w_3+\frac13+\left(X-\frac12\right)=w_3+\left(X-\frac16\right)$, avec $X-\frac16\in\mathbb{R}_1[X]$ et $w_3\in\mathbb{R}_1[X]^\perp$. Par la caractérisation de la projection : $$p_{\mathbb{R}_1[X]}(X^2)=X-\frac16,\qquad d(X^2,\mathbb{R}_1[X])=\|w_3\|=\frac{1}{\sqrt{180}}=\frac{1}{6\sqrt5}.$$ On retrouve le minimum $\frac1{180}$ de l'exemple du cours.
$\left(1,\ \sqrt3(2X-1),\ \sqrt5(6X^2-6X+1)\right)$ ; $d(X^2,\mathbb{R}_1[X])=\frac{1}{6\sqrt5}$