Exercice corrigé : Matrice de Gram d'une famille

Soit $E$ un espace préhilbertien réel, $p\geqslant1$ et $v_1,\dots,v_p\in E$. La matrice de Gram de la famille est $G=\big(\langle v_i,v_j\rangle\big)_{1\leqslant i,j\leqslant p}\in\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$.

1. Montrer que $G$ est symétrique et que pour toute colonne $X=(x_1,\dots,x_p)^\top$ : $X^\top GX=\Big\|\sum_{i=1}^px_iv_i\Big\|^2$.
2. Montrer que $G$ est inversible si et seulement si $(v_1,\dots,v_p)$ est libre.
3. Cas $p=2$, $v_1=u$, $v_2=v$ avec $u\neq0$. Calculer $\det G$. En appliquant la question 1 à $X=\big(\langle u,v\rangle,-\|u\|^2\big)^\top$, montrer que $\det G\geqslant0$, et retrouver l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec son cas d'égalité.
4. On suppose $(v_1,\dots,v_p)$ libre et on note $F=\operatorname{Vect}(v_1,\dots,v_p)$. Justifier que le système de la méthode B du cours, qui donne les coordonnées de $p_F(x)$, admet une unique solution.
5. Cas $p=1$ : pour $v\neq0$ et $x\in E$, montrer que $d(x,\operatorname{Vect}v)^2=\dfrac{\det G(v,x)}{\det G(v)}$, où $G(v,x)$ et $G(v)$ désignent les matrices de Gram de $(v,x)$ et de $(v)$.