Théorème de Pythagore : énoncé (MPSI)
Théorème de Pythagore
Pour $x,y\in E$ : $$x\perp y\iff\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2.$$ Si $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille orthogonale, alors $$\Big\|\sum_{i=1}^p x_i\Big\|^2=\sum_{i=1}^p\|x_i\|^2.$$
Démonstration : Théorème de Pythagore
Preuve
Le développement $\|x+y\|^2=\|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2$ donne l'équivalence. Pour une famille orthogonale : $$\Big\|\sum_i x_i\Big\|^2=\sum_{i,j}\langle x_i,x_j\rangle=\sum_i\langle x_i,x_i\rangle=\sum_i\|x_i\|^2,$$ car les termes $i\neq j$ sont nuls.
Pas de réciproque pour trois vecteurs ou plus
Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, avec $x_1=(1,0)$, $x_2=(0,1)$, $x_3=(1,-1)$ : $\|x_1+x_2+x_3\|^2=\|(2,0)\|^2=4=1+1+2$, alors que $\langle x_1,x_3\rangle=1\neq0$. L'égalité de Pythagore pour $p\geqslant 3$ vecteurs ne caractérise pas l'orthogonalité de la famille.
S’entraîner
- Projection sur une droite et sur un plan
- Approcher $|t|$ par un polynôme de degré 2
- Un projecteur est orthogonal si et seulement s'il raccourcit les vecteurs