Reconnaître un problème de distanceCalculer une projection avec une base orthogonaleUtiliser Pythagore pour une distance
On note $E=\mathcal{C}([-1,1],\mathbb{R})$ muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_{-1}^1f(t)g(t)\,\mathrm{d}t$.
Calculer $$m=\min_{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3}\int_{-1}^1\big(|t|-a-bt-ct^2\big)^2\,\mathrm{d}t$$ et déterminer le triplet $(a,b,c)$ qui réalise ce minimum.
Indice 1
Écrire $m$ comme le carré d'une distance de $f:t\mapsto|t|$ à un sous-espace de dimension $3$.
Indice 2
Le cours fournit une base orthogonale de ce sous-espace : $1$, $t$, $t^2-\frac13$, avec leurs normes.
Indice 3
Exploiter la parité pour certains produits scalaires, puis conclure avec $d(f,F)^2=\|f\|^2-\|p_F(f)\|^2$.
🔒 Corrigé Premium
Crée un compte gratuit : 5 corrigés Premium offerts chaque semaine
Créer mon compte gratuit