Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre : énoncé (MPSI)
Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre
Toute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre. En particulier, toute famille orthonormée est libre.
Démonstration : Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre
Preuve
Soit $(e_1,\dots,e_p)$ orthogonale, sans vecteur nul, et $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ des réels tels que $\sum_i\lambda_ie_i=0$. Pour $j$ fixé, on fait le produit scalaire avec $e_j$ : $$0=\Big\langle\sum_i\lambda_ie_i,e_j\Big\rangle=\sum_i\lambda_i\langle e_i,e_j\rangle=\lambda_j\|e_j\|^2.$$ Comme $e_j\neq 0$, $\|e_j\|^2>0$ et $\lambda_j=0$. La famille est libre. Pour une famille infinie, on applique ce raisonnement à toute sous-famille finie.
Une famille orthogonale de fonctions
Dans $\mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{R})$ muni de $\langle f,g\rangle=\int_0^{2\pi}fg$, les fonctions $c_n:t\mapsto\cos(nt)$ pour $n\geqslant 1$ sont deux à deux orthogonales. Pour $n\neq m$ : $$\int_0^{2\pi}\cos(nt)\cos(mt)\,\mathrm{d}t=\frac12\int_0^{2\pi}\big(\cos((n+m)t)+\cos((n-m)t)\big)\,\mathrm{d}t=0,$$ car $n+m$ et $n-m$ sont des entiers non nuls. La famille $(c_n)_{n\geqslant1}$ est donc libre. De plus $\|c_n\|^2=\int_0^{2\pi}\cos^2(nt)\,\mathrm{d}t=\pi$, donc $(c_n/\sqrt{\pi})_{n\geqslant1}$ est orthonormée.
S’entraîner
- Un produit scalaire non canonique sur $\mathbb{R}^2$
- Gram-Schmidt dans $\mathbb{R}^3$
- Projection sur une droite et sur un plan
- Base orthonormée de $\mathbb{R}_2[X]$ pour l'intégrale sur $[0,1]$
- Meilleure approximation par une matrice symétrique
Dans le cours
Espaces préhilbertiens réels : Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre