Calculer une projection orthogonaleCalculer une distance à une droite et à un hyperplanUtiliser le théorème de Pythagore
Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, on pose $a=(1,2,3)$, $u=(1,1,1)$, $D=\operatorname{Vect}(u)$ et $H$ le plan d'équation $x+y+z=0$.
- Calculer $p_D(a)$ et $d(a,D)$.
- Calculer $p_H(a)$ et $d(a,H)$.
- Vérifier que $\|a\|^2=d(a,D)^2+d(a,H)^2$ et expliquer cette relation.
Indice 1
Utiliser la formule $p_D(x)=\frac{\langle u,x\rangle}{\|u\|^2}u$.
Indice 2
Remarquer que $H=u^\perp=D^\perp$.
Indice 3
Comparer $a-p_D(a)$ et $p_H(a)$.
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