Calculs dans une base orthonormée : énoncé (MPSI)
Calculs dans une base orthonormée
Soit $E$ euclidien et $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormée (BON). Pour tous $x,y\in E$ : $$x=\sum_{i=1}^n\langle e_i,x\rangle e_i,$$ et si $x=\sum x_ie_i$, $y=\sum y_ie_i$ : $$\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n x_iy_i=X^\top Y,\qquad\|x\|^2=\sum_{i=1}^nx_i^2,$$ où $X,Y$ sont les colonnes des coordonnées. Dans une BON, tout se calcule comme dans $\mathbb{R}^n$ canonique.
Démonstration : Calculs dans une base orthonormée
Preuve
Écrivons $x=\sum_ix_ie_i$. Pour $j$ fixé, $\langle e_j,x\rangle=\sum_ix_i\langle e_j,e_i\rangle=x_j$ : la $j$-ième coordonnée est $\langle e_j,x\rangle$. Ensuite $\langle x,y\rangle=\sum_{i,j}x_iy_j\langle e_i,e_j\rangle=\sum_ix_iy_i$ par bilinéarité.
Base seulement orthogonale
Si la base $(e_1,\dots,e_n)$ est orthogonale mais pas normée, la coordonnée de $x$ sur $e_i$ est $\dfrac{\langle e_i,x\rangle}{\|e_i\|^2}$, et non $\langle e_i,x\rangle$.
S’entraîner
- Un produit scalaire non canonique sur $\mathbb{R}^2$
- Gram-Schmidt dans $\mathbb{R}^3$
- Orthogonal d'un plan de $\mathbb{R}^4$
- Base orthonormée de $\mathbb{R}_2[X]$ pour l'intégrale sur $[0,1]$
- Approcher $|t|$ par un polynôme de degré 2
Dans le cours
Espaces préhilbertiens réels : Calculs dans une base orthonormée