Exercice corrigé : Noyaux, images et composition

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f,g\in\mathcal{L}(E)$.

1. Montrer que $\ker f\subset\ker(g\circ f)$ et $\operatorname{Im}(g\circ f)\subset\operatorname{Im} g$.
2. Montrer que $g\circ f=0$ si et seulement si $\operatorname{Im} f\subset\ker g$.
3. Exemple : $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$, $f(x,y,z)=(z,0,0)$. Calculer $f\circ f$, $\ker f$, $\operatorname{Im} f$, et vérifier la question 2.
4. Trouver $f,g\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ telles que $g\circ f=0$ et $f\circ g\neq 0$.