Exercice corrigé : Suites récurrentes linéaires d'ordre deux

Soit $S=\{u\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\mid\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n\}$.

1. Montrer que $S$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$.
2. Déterminer les réels $q$ tels que la suite $(q^n)_{n\in\mathbb{N}}$ appartienne à $S$.
3. On note $a=(2^n)_n$ et $b=((-1)^n)_n$. Montrer que $(a,b)$ est libre.
4. Montrer que $(a,b)$ est une base de $S$.
5. Déterminer la suite $u\in S$ telle que $u_0=0$ et $u_1=3$.