Exercice corrigé : Sous-espace ou non

1. $A\subset\mathbb{R}^3$ et $(0,0,0)\in A$ car $0+0=0$. Soit $u=(x,y,z)$ et $u'=(x',y',z')$ dans $A$, et $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$. Alors

$$(\lambda x+\mu x')+(\lambda y+\mu y')=\lambda(x+y)+\mu(x'+y')=\lambda z+\mu z',$$

donc $\lambda u+\mu u'\in A$. $A$ est un sev de $\mathbb{R}^3$.

2. $(1,0,0)\in B$ et $(0,1,0)\in B$, mais leur somme $(1,1,0)$ vérifie $1\times 1=1\neq 0$, donc $(1,1,0)\notin B$. $B$ n'est pas stable par $+$ : ce n'est pas un sev (c'est la réunion des deux plans $x=0$ et $y=0$).

3. $0+0+0=0\neq 1$, donc $(0,0,0)\notin C$ : $C$ n'est pas un sev.

4. $D\subset\mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$. La fonction nulle vérifie $\int_0^1 0=0=0(0)$, donc elle est dans $D$. Soit $f,g\in D$ et $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$. La fonction $\lambda f+\mu g$ est continue et, par linéarité de l'intégrale,

$$\int_0^1(\lambda f+\mu g)=\lambda\int_0^1 f+\mu\int_0^1 g=\lambda f(0)+\mu g(0)=(\lambda f+\mu g)(0).$$

Donc $\lambda f+\mu g\in D$ : $D$ est un sev.

5. La suite nulle est dans $S$, le premier test ne suffit donc pas. La suite constante égale à $1$ est dans $S$ ($1=1^2$). Son double, la suite constante égale à $2$, vérifie $u_1=2$ et $u_0^2=4$, donc n'est pas dans $S$. $S$ n'est pas stable par la loi externe : ce n'est pas un sev.

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