Structure des solutions d'une équation linéaire : énoncé (MPSI)

Propriété

Structure des solutions d'une équation linéaire

Soit $f\in\mathcal{L}(E,F)$ et $b\in F$. L'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions de l'équation $f(x)=b$ est :

vide si $b\notin\operatorname{Im} f$ ;
de la forme $\mathcal{S}=x_0+\ker f=\{x_0+z\mid z\in\ker f\}$ si $x_0$ est une solution particulière.

Autrement dit : solution générale = solution particulière + solution générale de l'équation homogène.

Démonstration : Structure des solutions d'une équation linéaire

Démonstration

Preuve

Si $b\notin\operatorname{Im} f$, il n'y a pas de solution par définition de l'image. Sinon, soit $x_0$ tel que $f(x_0)=b$. Pour $x\in E$ :

$$f(x)=b\iff f(x)=f(x_0)\iff f(x-x_0)=0_F\iff x-x_0\in\ker f.$$

Donc $x$ est solution si et seulement si $x=x_0+z$ avec $z\in\ker f$.

Exemple

Systèmes et équations différentielles

Cette propriété unifie plusieurs situations déjà rencontrées.

Système linéaire $AX=B$ : c'est $f(X)=B$ avec $f:X\mapsto AX$.
Équation différentielle $y'+y=1$ sur $\mathbb{R}$ : c'est $f(y)=1$ avec $f:\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})\to\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $y\mapsto y'+y$, linéaire. La fonction constante $y_0=1$ est solution particulière, et $\ker f=\mathrm{Vect}(t\mapsto e^{-t})$. Les solutions sont les fonctions $t\mapsto 1+Ce^{-t}$, $C\in\mathbb{R}$.

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