Prépa, 1re année › Espaces vectoriels et applications linéaires › Réciproque d'un isomorphisme
Réciproque d'un isomorphisme : énoncé (MPSI)
Propriété
Réciproque d'un isomorphisme
Si $f\in\mathcal{L}(E,F)$ est bijective, alors sa réciproque $f^{-1}:F\to E$ est linéaire.
Démonstration : Réciproque d'un isomorphisme
Démonstration
Preuve
Soit $y,y'\in F$ et $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$. Posons $x=f^{-1}(y)$ et $x'=f^{-1}(y')$. Par linéarité de $f$ :
$$f(\lambda x+\mu x')=\lambda f(x)+\mu f(x')=\lambda y+\mu y'.$$
En appliquant $f^{-1}$ : $f^{-1}(\lambda y+\mu y')=\lambda x+\mu x'=\lambda f^{-1}(y)+\mu f^{-1}(y')$.
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Dans le cours
Espaces vectoriels et applications linéaires : Réciproque d'un isomorphisme