Prépa, 1re année › Espaces vectoriels et applications linéaires › Premières conséquences

Premières conséquences : énoncé (MPSI)

Propriété

Premières conséquences

Si $f\in\mathcal{L}(E,F)$ :

$f(0_E)=0_F$ ;
$f(-x)=-f(x)$ ;
$f\Big(\sum_{i=1}^{p}\lambda_ix_i\Big)=\sum_{i=1}^{p}\lambda_if(x_i)$ (récurrence sur $p$).

La première propriété se prouve par $f(0_E)=f(0\cdot 0_E)=0\cdot f(0_E)=0_F$. Elle donne un test rapide : si $f(0_E)\neq 0_F$, $f$ n'est pas linéaire.

Exemple

Exemples et contre-exemples

$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$, $f(x,y,z)=(x+y,\ y+z,\ x-z)$ est un endomorphisme : chaque coordonnée de l'image est une combinaison linéaire de $x,y,z$.
La dérivation $D:\mathbb{K}[X]\to\mathbb{K}[X]$, $P\mapsto P'$, est un endomorphisme.
La trace $\mathrm{tr}:\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\to\mathbb{K}$ est une forme linéaire.
Pour $a\in\mathbb{R}$, l'évaluation $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})\to\mathbb{R}$, $f\mapsto f(a)$, est une forme linéaire.
$u\mapsto \lim u$ est une forme linéaire sur le sev des suites convergentes.
La translation $(x,y)\mapsto(x+1,y)$ n'est pas linéaire : l'image de $(0,0)$ est $(1,0)$.
$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $x\mapsto x^2$, n'est pas linéaire : $g(2\cdot 1)=4$ alors que $2g(1)=2$.

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Espaces vectoriels et applications linéaires : Premières conséquences