Images directe et réciproque de sous-espaces : énoncé (MPSI)

Image directe. $0_F=f(0_E)\in f(E')$. Si $y=f(x)$ et $y'=f(x')$ avec $x,x'\in E'$, alors $\lambda y+\mu y'=f(\lambda x+\mu x')$ et $\lambda x+\mu x'\in E'$, donc $\lambda y+\mu y'\in f(E')$.

Image réciproque. $f(0_E)=0_F\in F'$, donc $0_E\in f^{-1}(F')$. Si $f(x),f(x')\in F'$, alors $f(\lambda x+\mu x')=\lambda f(x)+\mu f(x')\in F'$, donc $\lambda x+\mu x'\in f^{-1}(F')$.