Opérations sur les applications linéaires : énoncé (MPSI)

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Opérations sur les applications linéaires

$\mathcal{L}(E,F)$ est un sev de $\mathcal{F}(E,F)$ : une combinaison linéaire d'applications linéaires est linéaire.
Si $f\in\mathcal{L}(E,F)$ et $g\in\mathcal{L}(F,G)$, alors $g\circ f\in\mathcal{L}(E,G)$.
La composition est bilinéaire : $g\circ(\lambda f_1+\mu f_2)=\lambda\, g\circ f_1+\mu\, g\circ f_2$ et $(\lambda g_1+\mu g_2)\circ f=\lambda\, g_1\circ f+\mu\, g_2\circ f$.
$(\mathcal{L}(E),+,\circ)$ est un anneau, non commutatif en général, de neutre $\mathrm{id}_E$. $\mathrm{GL}(E)$ est un groupe pour $\circ$, appelé groupe linéaire de $E$.

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