Caractérisation de la somme directe : énoncé (MPSI)
Caractérisation de la somme directe
La somme $F+G$ est directe si et seulement si $F\cap G=\{0_E\}$.
Démonstration : Caractérisation de la somme directe
Preuve
Supposons la somme directe et soit $z\in F\cap G$. Alors $z=z+0_E$ avec $z\in F$, $0_E\in G$, et $z=0_E+z$ avec $0_E\in F$, $z\in G$. Par unicité de la décomposition, $z=0_E$. Donc $F\cap G=\{0_E\}$.
Réciproquement, supposons $F\cap G=\{0_E\}$ et $x+y=x'+y'$ avec $x,x'\in F$ et $y,y'\in G$. Alors $x-x'=y'-y$. Le membre de gauche est dans $F$, celui de droite dans $G$, donc ce vecteur est dans $F\cap G$ : il est nul. Ainsi $x=x'$ et $y=y'$.
Seulement pour deux sous-espaces
Ce critère par l'intersection ne vaut que pour deux sous-espaces. Pour trois sous-espaces ou plus (vu en deuxième année), la condition « intersections deux à deux réduites à $\{0_E\}$ » ne suffit pas : dans $\mathbb{R}^2$, les trois droites engendrées par $(1,0)$, $(0,1)$ et $(1,1)$ se coupent deux à deux en $\{0\}$, mais $(1,1)=(1,0)+(0,1)$ admet deux décompositions.
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Dans le cours
Espaces vectoriels et applications linéaires : Caractérisation de la somme directe