Sous-espaces supplémentaires : définition (MPSI)

Définition

Sous-espaces supplémentaires

Deux sev $F$ et $G$ de $E$ sont supplémentaires dans $E$ si $E=F\oplus G$, c'est-à-dire

$$E=F+G\quad\text{et}\quad F\cap G=\{0_E\}.$$

De façon équivalente : tout $x\in E$ s'écrit de manière unique $x=x_F+x_G$ avec $x_F\in F$ et $x_G\in G$.

Exemple

Un plan et une droite de R^3

Soit $P=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}$ et $D=\mathrm{Vect}(w)$ avec $w=(1,1,1)$.

Intersection. Si $tw=(t,t,t)\in P$, alors $3t=0$, donc $t=0$. Ainsi $P\cap D=\{0\}$.
Somme. Soit $u=(x,y,z)$. On cherche $\lambda$ tel que $u-\lambda w\in P$ : $(x-\lambda)+(y-\lambda)+(z-\lambda)=0$, soit $\lambda=\frac{x+y+z}{3}$. Alors $u=(u-\lambda w)+\lambda w$ avec $u-\lambda w\in P$ et $\lambda w\in D$.

Donc $\mathbb{R}^3=P\oplus D$. Par exemple, pour $u=(3,0,0)$ : $\lambda=1$ et $u=(2,-1,-1)+(1,1,1)$.

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