Montrer que E = F ⊕ G par analyse-synthèse : méthode (MPSI)
Montrer que E = F ⊕ G par analyse-synthèse
- Analyse. Soit $x\in E$. On suppose $x=a+b$ avec $a\in F$ et $b\in G$, et on exploite les propriétés de $F$ et $G$ pour exprimer $a$ et $b$ en fonction de $x$. Cela prouve l'unicité de la décomposition, donc $F\cap G=\{0_E\}$.
- Synthèse. On pose $a$ et $b$ par les formules trouvées et on vérifie : $a\in F$, $b\in G$, $a+b=x$. Cela prouve l'existence, donc $E=F+G$.
- Conclusion. $E=F\oplus G$.
Alternative : prouver séparément $F\cap G=\{0_E\}$ (prendre $x$ dans les deux et montrer $x=0_E$) et $E=F+G$.
Fonctions paires et impaires
Soit $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $\mathcal{P}$ le sev des fonctions paires et $\mathcal{I}$ celui des fonctions impaires. Montrons $E=\mathcal{P}\oplus\mathcal{I}$.
Analyse. Soit $f\in E$ et supposons $f=g+h$ avec $g$ paire et $h$ impaire. Pour tout $t$ : $f(t)=g(t)+h(t)$ et $f(-t)=g(t)-h(t)$. Donc
$$g(t)=\frac{f(t)+f(-t)}{2},\qquad h(t)=\frac{f(t)-f(-t)}{2}.$$
$g$ et $h$ sont déterminées par $f$ : la décomposition, si elle existe, est unique.
Synthèse. On définit $g$ et $h$ par ces formules. Alors $g(-t)=\frac{f(-t)+f(t)}{2}=g(t)$, donc $g$ est paire ; $h(-t)=\frac{f(-t)-f(t)}{2}=-h(t)$, donc $h$ est impaire ; et $g+h=f$.
Conclusion. $E=\mathcal{P}\oplus\mathcal{I}$. Pour $f=\exp$, on obtient $g=\mathrm{ch}$ et $h=\mathrm{sh}$.
Matrices symétriques et antisymétriques
Dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, notons $\mathcal{S}_n(\mathbb{K})=\{M\mid M^\top=M\}$ et $\mathcal{A}_n(\mathbb{K})=\{M\mid M^\top=-M\}$.
- Si $M\in\mathcal{S}_n\cap\mathcal{A}_n$, alors $M=M^\top=-M$, donc $2M=0$ et $M=0$.
- Pour toute $M$ : $M=\frac{M+M^\top}{2}+\frac{M-M^\top}{2}$, avec $\left(\frac{M+M^\top}{2}\right)^\top=\frac{M^\top+M}{2}$ (symétrique) et $\left(\frac{M-M^\top}{2}\right)^\top=\frac{M^\top-M}{2}=-\frac{M-M^\top}{2}$ (antisymétrique).
Donc $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})=\mathcal{S}_n(\mathbb{K})\oplus\mathcal{A}_n(\mathbb{K})$.
Supplémentaire n'est pas complémentaire
Un supplémentaire n'est pas unique, et ce n'est jamais le complémentaire ensembliste (qui ne contient pas $0_E$, donc n'est pas un sev). Dans $\mathbb{R}^2$, la droite $F=\mathrm{Vect}((1,0))$ admet comme supplémentaires $\mathrm{Vect}((0,1))$, $\mathrm{Vect}((1,1))$, et plus généralement toute droite $\mathrm{Vect}((a,1))$ avec $a\in\mathbb{R}$. On dit donc « un » supplémentaire de $F$, pas « le ».
Bases et sommes directes
Si $(u_1,\ldots,u_p)$ est une base de $F$ et $(v_1,\ldots,v_q)$ une base de $G$, alors $E=F\oplus G$ si et seulement si la famille concaténée $(u_1,\ldots,u_p,v_1,\ldots,v_q)$ est une base de $E$. Le caractère générateur correspond à $E=F+G$, la liberté à l'unicité de la décomposition. Une telle base est dite adaptée à la décomposition $E=F\oplus G$.
S’entraîner
- Des équations à une base
- Noyau et image d'une application de R^3 dans R^2
- Reconnaître un projecteur de R^3
- Un plan, une droite, projecteur et symétrie
- Supplémentaire dans un espace de polynômes
Dans le cours
Espaces vectoriels et applications linéaires : Montrer que E = F ⊕ G par analyse-synthèse