La somme est un sous-espace : énoncé (MPSI)
La somme est un sous-espace
$F+G$ est un sev de $E$. C'est le plus petit sev de $E$ contenant $F$ et $G$ : $F+G=\mathrm{Vect}(F\cup G)$.
Si $F=\mathrm{Vect}(u_1,\ldots,u_p)$ et $G=\mathrm{Vect}(v_1,\ldots,v_q)$, alors $F+G=\mathrm{Vect}(u_1,\ldots,u_p,v_1,\ldots,v_q)$.
Démonstration : La somme est un sous-espace
Preuve
$0_E=0_E+0_E\in F+G$. Si $z=x+y$ et $z'=x'+y'$ avec $x,x'\in F$ et $y,y'\in G$, alors $\lambda z+\mu z'=(\lambda x+\mu x')+(\lambda y+\mu y')\in F+G$. Donc $F+G$ est un sev.
Il contient $F$ (écrire $x=x+0_E$) et $G$. Tout sev $H$ contenant $F$ et $G$ contient les sommes $x+y$ par stabilité, donc $F+G\subset H$.
Pour le dernier point, une combinaison linéaire des $u_i$ et des $v_j$ est la somme d'un élément de $F$ et d'un élément de $G$, et réciproquement.
S’entraîner
- Sous-espace ou non
- Des équations à une base
- Supplémentaire dans un espace de polynômes
- Un endomorphisme de R_2[X]
- Noyaux, images et composition
Dans le cours
Espaces vectoriels et applications linéaires : La somme est un sous-espace