Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $u\in\mathcal{L}(E)$ tel que $u^2-3u+2\,\mathrm{id}_E=0$, où $u^2=u\circ u$. On pose $F=\ker(u-\mathrm{id}_E)$ et $G=\ker(u-2\,\mathrm{id}_E)$.
- Montrer que $E=F\oplus G$.
- Montrer que $p=2\,\mathrm{id}_E-u$ est le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$.
- Montrer que $u$ est un automorphisme de $E$ et exprimer $u^{-1}$ en fonction de $u$.
- Soit $q$ un projecteur de $E$. Montrer que $v=\mathrm{id}_E+q$ vérifie $v^2-3v+2\,\mathrm{id}_E=0$ et identifier $\ker(v-\mathrm{id}_E)$ et $\ker(v-2\,\mathrm{id}_E)$.
En analyse, écrire $x=a+b$ et appliquer $u$ : on obtient deux équations pour deux inconnues $a$ et $b$.
En synthèse, utiliser $u^2=3u-2\,\mathrm{id}_E$.
Pour la question 3, chercher $w$ combinaison de $u$ et $\mathrm{id}_E$ telle que $u\circ w=\mathrm{id}_E$.
1. Soit $x\in E$.
Analyse. Si $x=a+b$ avec $u(a)=a$ et $u(b)=2b$, alors $u(x)=a+2b$. Par différence $b=u(x)-x$, puis $a=x-b=2x-u(x)$. La décomposition est unique, donc $F\cap G=\{0_E\}$.
Synthèse. Posons $a=2x-u(x)$ et $b=u(x)-x$. On a $a+b=x$ et, en utilisant $u^2(x)=3u(x)-2x$ :
$$\begin{aligned}(u-\mathrm{id})(a)&=2u(x)-u^2(x)-2x+u(x)=-\big(u^2(x)-3u(x)+2x\big)=0_E,\\ (u-2\,\mathrm{id})(b)&=u^2(x)-u(x)-2u(x)+2x=u^2(x)-3u(x)+2x=0_E.\end{aligned}$$
Donc $a\in F$, $b\in G$, et $E=F\oplus G$.
2. D'après l'analyse, la composante de $x$ sur $F$ dans la décomposition $E=F\oplus G$ est $a=2x-u(x)=p(x)$. Par définition, $p$ est le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$.
3. Posons $w=\frac{1}{2}(3\,\mathrm{id}_E-u)$, linéaire. Alors $u\circ w=\frac{1}{2}(3u-u^2)=\frac{1}{2}\cdot 2\,\mathrm{id}_E=\mathrm{id}_E$, et de même $w\circ u=\frac{1}{2}(3u-u^2)=\mathrm{id}_E$ car $u$ commute avec $\mathrm{id}_E$ et avec lui-même. Donc $u$ est bijectif, c'est un automorphisme, et
$$u^{-1}=\frac{1}{2}\big(3\,\mathrm{id}_E-u\big).$$
4. $v^2=(\mathrm{id}+q)\circ(\mathrm{id}+q)=\mathrm{id}+2q+q^2=\mathrm{id}+3q$ car $q^2=q$. Et $3v-2\,\mathrm{id}=3\,\mathrm{id}+3q-2\,\mathrm{id}=\mathrm{id}+3q$. Donc $v^2-3v+2\,\mathrm{id}=0$.
Ensuite $v(x)=x\iff q(x)=0_E$, donc $\ker(v-\mathrm{id})=\ker q$ ; et $v(x)=2x\iff q(x)=x$, donc $\ker(v-2\,\mathrm{id})=\ker(q-\mathrm{id})=\operatorname{Im} q$. On retrouve $E=\ker q\oplus\operatorname{Im} q$.
$E=F\oplus G$ ; $p=2\,\mathrm{id}-u$ ; $u^{-1}=\frac{1}{2}(3\,\mathrm{id}-u)$ ; pour $v=\mathrm{id}+q$ : $\ker(v-\mathrm{id})=\ker q$, $\ker(v-2\,\mathrm{id})=\operatorname{Im} q$.