Arc sinus : définition (MPSI)

La restriction de $\sin$ à $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ est continue et strictement croissante (sa dérivée $\cos$ est strictement positive sur l'intervalle ouvert), de $-1$ à $1$. C'est une bijection de $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ sur $[-1, 1]$. Sa réciproque est la fonction arc sinus $\arcsin : [-1, 1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Pour $x \in [-1, 1]$ et $\theta \in \mathbb{R}$ : $$\theta = \arcsin x \iff \begin{cases} \sin\theta = x \\ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ Autrement dit, $\arcsin x$ est l'unique réel de $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ dont le sinus vaut $x$. Exemples : $\arcsin 0 = 0$, $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$.