Prépa, 1re année › Fonctions usuelles › Propriétés de arc tangente

Propriétés de arc tangente : énoncé (MPSI)

Propriété

Propriétés de arc tangente

$\arctan$ est continue, strictement croissante et impaire sur $\mathbb{R}$, avec $\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$ et $\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$ : sa courbe a deux asymptotes horizontales.
Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $$\arctan'(x) = \frac{1}{1 + x^2}.$$ Sa tangente en $0$ a pour équation $y = x$.
Pour tout réel $x$ : $\tan(\arctan x) = x$, $\cos(\arctan x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ et $\sin(\arctan x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.

Démonstration : Propriétés de arc tangente

Démonstration

Preuve des propriétés de arc tangente

La dérivée $\tan' = 1 + \tan^2$ ne s'annule pas, donc $\arctan$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $$\arctan'(x) = \frac{1}{1 + \tan^2(\arctan x)} = \frac{1}{1 + x^2}.$$ Soit $\theta = \arctan x \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$. Alors $\cos\theta > 0$ et $\cos^2\theta = \dfrac{1}{1 + \tan^2\theta} = \dfrac{1}{1 + x^2}$, d'où $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$. Puis $\sin\theta = \tan\theta \cos\theta = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.

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Dans le cours

Fonctions usuelles : Propriétés de arc tangente