Formule de $\tan(a - b)$Localiser un angle avant de conclureSomme télescopique et limite
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Montrer que pour tout entier naturel $k$ : $$\arctan(k + 1) - \arctan k = \arctan\frac{1}{k^2 + k + 1}.$$
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Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \arctan\frac{1}{k^2 + k + 1}$. Calculer $S_n$ en fonction de $n$, puis la limite de $S_n$ quand $n \to +\infty$.
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En déduire la valeur de $\arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7} + \arctan 1$.
Indice 1
Poser $\alpha = \arctan(k+1)$, $\beta = \arctan k$ et calculer $\tan(\alpha - \beta)$.
Indice 2
Avant de conclure, situer $\alpha - \beta$ dans $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$.
Indice 3
Pour 3, reconnaître les termes $k = 0, 1, 2$ de la somme.
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