Propriétés de arc sinus : énoncé (MPSI)
Propriétés de arc sinus
- $\arcsin$ est continue, strictement croissante et impaire sur $[-1, 1]$.
- Elle est dérivable sur $]-1, 1[$ et $$\arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.$$
- Elle n'est pas dérivable en $-1$ et en $1$ : sa courbe y a des tangentes verticales. En $0$, la tangente a pour équation $y = x$.
- Pour tout $x \in [-1, 1]$ : $\sin(\arcsin x) = x$ et $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$.
Démonstration : Propriétés de arc sinus
Preuve des propriétés de arc sinus
Soit $x \in [-1, 1]$ et $\theta = \arcsin x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Sur cet intervalle, $\cos\theta \geq 0$, et $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - x^2$. Donc $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$.
La dérivée de $\sin$ est $\cos$, qui ne s'annule pas sur $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$, dont l'image par $\sin$ est $]-1, 1[$. Par le théorème de dérivation des réciproques, $\arcsin$ est dérivable sur $]-1, 1[$ et $$\arcsin'(x) = \frac{1}{\cos(\arcsin x)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.$$ En $\pm 1$, $\cos\left(\pm\frac{\pi}{2}\right) = 0$ : la tangente à la courbe de $\sin$ est horizontale, donc celle de $\arcsin$ est verticale.
Imparité : si $\theta = \arcsin x$, alors $-\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ et $\sin(-\theta) = -x$, donc $\arcsin(-x) = -\theta = -\arcsin x$.