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Propriétés de arc cosinus : énoncé (MPSI)
Propriété
Propriétés de arc cosinus
- $\arccos$ est continue et strictement décroissante sur $[-1, 1]$. Elle n'est ni paire ni impaire : pour tout $x \in [-1, 1]$, $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$. Sa courbe est symétrique par rapport au point $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.
- Elle est dérivable sur $]-1, 1[$ et $$\arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},$$ avec des tangentes verticales en $\pm 1$.
- Pour tout $x \in [-1, 1]$ : $\cos(\arccos x) = x$ et $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$.
Démonstration : Propriétés de arc cosinus
Démonstration
Preuve des propriétés de arc cosinus
Soit $\theta = \arccos x \in [0, \pi]$. Alors $\sin\theta \geq 0$ et $\sin^2\theta = 1 - x^2$, d'où $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$. Comme $\cos' = -\sin$ ne s'annule pas sur $]0, \pi[$, pour $x \in ]-1, 1[$ : $$\arccos'(x) = \frac{1}{-\sin(\arccos x)} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.$$ Symétrie : $\pi - \theta \in [0, \pi]$ et $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta = -x$, donc $\arccos(-x) = \pi - \theta$.