Dérivées et variations : énoncé (MPSI)
Dérivées et variations
Les fonctions $\operatorname{ch}$, $\operatorname{sh}$, $\operatorname{th}$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et $$\operatorname{ch}' = \operatorname{sh},\qquad \operatorname{sh}' = \operatorname{ch},\qquad \operatorname{th}' = \frac{1}{\operatorname{ch}^2} = 1 - \operatorname{th}^2.$$ Contrairement au cas circulaire, il n'y a aucun signe moins.
- $\operatorname{sh}' = \operatorname{ch} > 0$ : $\operatorname{sh}$ est strictement croissante de $-\infty$ à $+\infty$ ; c'est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, et $\operatorname{sh} x$ a le signe de $x$.
- $\operatorname{ch}' = \operatorname{sh}$ a le signe de $x$ :
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $\operatorname{sh} x$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $\operatorname{ch}$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $1$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
- $\operatorname{th}' > 0$ : $\operatorname{th}$ est strictement croissante. Comme $\operatorname{th} x = \dfrac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}}$, on a $\operatorname{th} x \to 1$ en $+\infty$, et $\operatorname{th} x \to -1$ en $-\infty$ par imparité. C'est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-1, 1[$.
Démonstration : Dérivées et variations
Preuve des dérivées
Comme $(e^{-x})' = -e^{-x}$, on obtient $\operatorname{ch}'(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} = \operatorname{sh} x$ et $\operatorname{sh}'(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} = \operatorname{ch} x$. Pour le quotient : $$\operatorname{th}' = \frac{\operatorname{ch}\cdot\operatorname{ch} - \operatorname{sh}\cdot\operatorname{sh}}{\operatorname{ch}^2} = \frac{1}{\operatorname{ch}^2},$$ et en séparant la fraction, $\dfrac{\operatorname{ch}^2 - \operatorname{sh}^2}{\operatorname{ch}^2} = 1 - \operatorname{th}^2$.
S’entraîner
- Dériver des fonctions usuelles composées
- Une équation et une inégalité hyperboliques
- Égalité $a^b = b^a$ et maximum de $n^{1/n}$