Résoudre une équation hyperbolique : méthode (MPSI)

Équation $\operatorname{sh} x = y$, pour $y \in \mathbb{R}$ fixé. Elle s'écrit $e^x - e^{-x} = 2y$, soit, avec $u = e^x$ : $u^2 - 2yu - 1 = 0$. Le discriminant réduit vaut $y^2 + 1 > 0$ et les racines sont $y \pm \sqrt{y^2 + 1}$. Leur produit vaut $-1$, donc une seule est positive : $y + \sqrt{y^2+1}$, positive car $\sqrt{y^2 + 1} > |y|$. Ainsi $$\operatorname{sh} x = y \iff x = \ln\left(y + \sqrt{y^2 + 1}\right).$$ Équation $\operatorname{ch} x = 2$. Elle s'écrit $e^x + e^{-x} = 4$, soit $u^2 - 4u + 1 = 0$, de racines $2 \pm \sqrt{3}$, toutes deux positives. Comme $(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 1$, on a $\ln(2 - \sqrt{3}) = -\ln(2 + \sqrt{3})$. Les solutions sont $x = \ln(2 + \sqrt{3})$ et $x = -\ln(2 + \sqrt{3})$, ce qui est cohérent avec la parité de $\operatorname{ch}$.