Soit $g : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}$, $g(x) = \frac{\ln x}{x}$.
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Dresser le tableau de variations de $g$, limites comprises.
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Soit $0 < a < b$. Montrer que $a^b = b^a$ si et seulement si $g(a) = g(b)$, et que dans ce cas $a < e < b$.
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Déterminer tous les couples d'entiers $(a, b)$ avec $1 \leq a < b$ tels que $a^b = b^a$.
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Comparer $\sqrt{2}$ et $\sqrt[3]{3}$, puis déterminer le plus grand des nombres $n^{1/n}$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.
$a^b = e^{b\ln a}$ : passer au logarithme puis diviser par $ab > 0$.
Si $a$ et $b$ sont tous deux dans $]0, e]$, ou tous deux dans $[e, +\infty[$, que dit l'injectivité de $g$ ?
Pour 4, $n^{1/n} = e^{g(n)}$ ; pour comparer $2^{1/2}$ et $3^{1/3}$, élever à la puissance $6$.
- $g$ est dérivable et $g'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$, du signe de $1 - \ln x$ : strictement positive sur $]0, e[$, nulle en $e$, strictement négative sur $]e, +\infty[$. En $0^+$, $\ln x \to -\infty$ et $\frac{1}{x} \to +\infty$, donc $g(x) \to -\infty$. En $+\infty$, $g(x) \to 0$ par croissances comparées.
| $x$ | $0$ | $e$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $g'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| $g$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $\frac{1}{e}$ | $\searrow$ | $0$ |
- Par stricte croissance de $\ln$ (donc injectivité de $\exp$), $a^b = b^a \iff e^{b\ln a} = e^{a\ln b} \iff b\ln a = a\ln b$. En divisant par $ab > 0$ : $\iff \frac{\ln a}{a} = \frac{\ln b}{b} \iff g(a) = g(b)$.
Supposons $g(a) = g(b)$ avec $a < b$. Si $b \leq e$, $a$ et $b$ sont dans $]0, e]$ où $g$ est strictement croissante, donc $g(a) < g(b)$ : contradiction. Si $a \geq e$, $a$ et $b$ sont dans $[e, +\infty[$ où $g$ est strictement décroissante, donc $g(a) > g(b)$ : contradiction. Ainsi $a < e < b$.
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D'après 2, $a < e$, donc $a \in \{1, 2\}$. Si $a = 1$ : $1^b = 1$ et $b^1 = b > 1$, impossible. Si $a = 2$ : il faut $g(b) = g(2) = \frac{\ln 2}{2} = \frac{2\ln 2}{4} = \frac{\ln 4}{4} = g(4)$, avec $b > e$ et $4 > e$. Comme $g$ est injective sur $[e, +\infty[$, $b = 4$. Réciproquement, $2^4 = 16 = 4^2$. Le seul couple est $(2, 4)$.
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Les deux nombres sont strictement positifs et $t \mapsto t^6$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. Or $(2^{1/2})^6 = 2^3 = 8$ et $(3^{1/3})^6 = 3^2 = 9$, donc $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$.
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $n^{1/n} = e^{g(n)}$, et $\exp$ est strictement croissante : il suffit de maximiser $g(n)$. Comme $g$ est croissante sur $]0, e]$, $g(1) \leq g(2)$ ; comme $g$ est décroissante sur $[e, +\infty[$, $g(n) \leq g(3)$ pour tout $n \geq 3$. Le maximum est donc $\max(g(2), g(3))$, et la comparaison précédente donne $g(2) < g(3)$. Le plus grand des $n^{1/n}$ est $\sqrt[3]{3}$, atteint pour $n = 3$.
Couple $(2,4)$ ; $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$ ; $\max n^{1/n} = \sqrt[3]{3}$, atteint en $n = 3$