Résoudre une équation hyperbolique par $u = e^x$Étudier une fonction pour établir une inégalitéDérivées de ch et sh
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Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $3\operatorname{ch} x - \operatorname{sh} x = 3$.
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Montrer que pour tout réel $x$, $\operatorname{ch} x \geq 1 + \frac{x^2}{2}$.
Indice 1
Pour 1, remplacer $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{sh}$ par leurs expressions exponentielles, multiplier par $2e^x$ et poser $u = e^x$.
Indice 2
Pour 2, étudier $g(x) = \operatorname{ch} x - 1 - \frac{x^2}{2}$ ; le signe de $g'$ s'obtient en étudiant $g'$ à son tour.
Indice 3
On peut utiliser que $\operatorname{ch} x - 1 \geq 0$ avec égalité seulement en $0$.
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