Prépa, 1re année › Fonctions usuelles › Relations fondamentales

Relations fondamentales : énoncé (MPSI)

Propriété

Relations fondamentales

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$\operatorname{ch}$ est paire, $\operatorname{sh}$ et $\operatorname{th}$ sont impaires ;
$\operatorname{ch} x + \operatorname{sh} x = e^x$ et $\operatorname{ch} x - \operatorname{sh} x = e^{-x}$ ;
$\operatorname{ch}^2 x - \operatorname{sh}^2 x = 1$ ;
$\operatorname{ch} x \geq 1$, avec égalité si et seulement si $x = 0$.

Démonstration : Relations fondamentales

Démonstration

Preuve

Changer $x$ en $-x$ échange $e^x$ et $e^{-x}$, d'où les parités. Les deux sommes se lisent sur les définitions. Ensuite $$\operatorname{ch}^2 x - \operatorname{sh}^2 x = (\operatorname{ch} x + \operatorname{sh} x)(\operatorname{ch} x - \operatorname{sh} x) = e^x e^{-x} = 1.$$ Enfin $$\operatorname{ch} x - 1 = \frac{e^x - 2 + e^{-x}}{2} = \frac{\left(e^{x/2} - e^{-x/2}\right)^2}{2} \geq 0,$$ avec égalité si et seulement si $e^{x/2} = e^{-x/2}$, c'est-à-dire $x = 0$.

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Dans le cours

Fonctions usuelles : Relations fondamentales