Limites et inégalité de référence : énoncé (MPSI)
Limites et inégalité de référence
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1,\qquad \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = 1,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2},$$ $$\forall x \in \mathbb{R},\quad |\sin x| \leq |x|.$$
Démonstration : Limites et inégalité de référence
Preuve
Les deux premières limites sont des taux d'accroissement en $0$ : $\sin'(0) = \cos 0 = 1$ et $\tan'(0) = 1 + \tan^2 0 = 1$. Pour la troisième, $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$, donc pour $x \neq 0$ : $$\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{2 \sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 \longrightarrow \frac{1}{2}.$$ Inégalité : soit $g(x) = x - \sin x$ sur $[0, +\infty[$. On a $g'(x) = 1 - \cos x \geq 0$, donc $g$ est croissante et $g(x) \geq g(0) = 0$ : $\sin x \leq x$ pour $x \geq 0$. Si $0 \leq x \leq 1$, alors $\sin x \geq 0$ (car $1 < \pi$), donc $|\sin x| = \sin x \leq x$. Si $x > 1$, $|\sin x| \leq 1 < x$. Pour $x < 0$, par imparité : $|\sin x| = |\sin(-x)| \leq -x = |x|$.
Calculer $\tan\frac{\pi}{12}$
On écrit $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ et on applique la formule de $\tan(a - b)$ : $$\tan\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}.$$ Contrôle : $2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268$, et $\frac{\pi}{12} \approx 0{,}262$ ; c'est cohérent avec $\tan x \approx x$ près de $0$.
S’entraîner
- Valeurs de arcsin, arccos, arctan
- Limites par croissances comparées
- Une équation et une inégalité hyperboliques
- Égalité $a^b = b^a$ et maximum de $n^{1/n}$
- Les solutions de $\tan x = x$ (esprit Mines-Ponts)