Déterminer les limites suivantes.
a) $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^{\sqrt{x}}$ ; b) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^3}{\sqrt{x}}$ ; c) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ ;
d) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-\sqrt{x}}$ ; e) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - x^5}{e^x + \ln x}$.
Quand l'exposant varie, écrire $u^v = e^{v\ln u}$ et étudier la limite de l'exposant.
Pour c), poser $h = \frac{1}{x}$ et reconnaître une limite usuelle.
Pour d), poser $t = \sqrt{x}$ ; pour e), factoriser par le terme dominant au numérateur et au dénominateur.
a) Pour $x > 0$, $x^{\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x}\ln x}$. Pour $0 < x < 1$, $\sqrt{x}\ln x = -x^{1/2}|\ln x|$, et par croissances comparées ($\alpha = \frac{1}{2}$, $\beta = 1$), $x^{1/2}|\ln x| \to 0$ en $0^+$. Donc l'exposant tend vers $0$ et, par continuité de $\exp$, $x^{\sqrt{x}} \to e^0 = 1$.
b) C'est la première limite des croissances comparées avec $\beta = 3$ et $\alpha = \frac{1}{2}$ : la limite vaut $0$.
c) Pour $x > 0$, $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e^{x\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}$. On pose $h = \frac{1}{x}$, qui tend vers $0^+$ quand $x \to +\infty$ : $x\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{\ln(1 + h)}{h} \to 1$ (limite usuelle). Donc la limite vaut $e^1 = e$.
d) On pose $t = \sqrt{x}$, qui tend vers $+\infty$ ; alors $x^2 e^{-\sqrt{x}} = \frac{t^4}{e^t}$, qui tend vers $0$ par croissances comparées ($\beta = 4$, $\alpha = 1$). La limite vaut $0$.
e) On factorise par $e^x$ : $$\frac{e^x - x^5}{e^x + \ln x} = \frac{1 - x^5 e^{-x}}{1 + e^{-x}\ln x}.$$ Par croissances comparées, $x^5 e^{-x} \to 0$. Pour $x \geq 1$, $0 \leq \ln x \leq x - 1 < x$, donc $0 \leq e^{-x}\ln x \leq x e^{-x}$, qui tend vers $0$ ; par encadrement $e^{-x}\ln x \to 0$. La limite vaut $\frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.
a) $1$ ; b) $0$ ; c) $e$ ; d) $0$ ; e) $1$