Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $I_n = \left]n\pi - \frac{\pi}{2},\ n\pi + \frac{\pi}{2}\right[$.
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Montrer que l'équation $\tan x = x$ admet une unique solution dans $I_n$, notée $x_n$, et que $n\pi < x_n < n\pi + \frac{\pi}{2}$.
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Montrer que $x_n - n\pi = \arctan(x_n)$. En déduire la limite de $x_n - n\pi$ quand $n \to +\infty$.
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Montrer que $x_n = n\pi + \frac{\pi}{2} - \arctan\frac{1}{x_n}$.
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En déduire que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n\left(n\pi + \frac{\pi}{2} - x_n\right) = \frac{1}{\pi}$.
Étudier $h(x) = \tan x - x$ sur $I_n$ : sa dérivée est positive et ne s'annule qu'en un point ; utiliser la $\pi$-périodicité de $\tan$ pour les limites aux bornes.
Calculer $h(n\pi)$ pour localiser $x_n$.
Pour 2, le réel $x_n - n\pi$ a la même tangente que $x_n$ et appartient à $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$.
Pour 4, écrire $n\,\arctan\frac{1}{x_n} = \frac{n}{x_n}\cdot\frac{\arctan t_n}{t_n}$ avec $t_n = \frac{1}{x_n}$, et reconnaître un taux d'accroissement de $\arctan$ en $0$.
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