Calculer, sans calculatrice, les nombres suivants.
a) $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$ ; b) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ; c) $\arctan(-\sqrt{3})$ ;
d) $\arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{3}\right)$ ; e) $\arccos\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right)$ ; f) $\arctan\left(\tan\frac{5\pi}{6}\right)$.
Pour chaque fonction, se rappeler l'intervalle dans lequel elle prend ses valeurs : $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, $[0, \pi]$ ou $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$.
arcsin et arctan sont impaires, mais arccos vérifie $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
Pour d), e), f) : chercher dans l'intervalle de référence un réel qui a le même sinus (cosinus, tangente) que l'angle donné.
On cherche à chaque fois l'unique réel de l'intervalle de référence qui a le sinus (cosinus, tangente) demandé.
a) $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ et $\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, donc $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$. Par imparité de $\arcsin$ : $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
b) $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$ car $\frac{\pi}{4} \in [0, \pi]$ et $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Avec $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$ : $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Contrôle : $\frac{3\pi}{4} \in [0, \pi]$ et $\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
c) $\arctan\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$ et $\arctan$ est impaire, donc $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
d) $\sin\frac{2\pi}{3} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3}$, et $\frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Donc $\arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$. On remarque que ce n'est pas $\frac{2\pi}{3}$, qui n'est pas dans l'intervalle de référence.
e) $\cos$ est paire, donc $\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\frac{5\pi}{6}$, et $\frac{5\pi}{6} \in [0, \pi]$. Donc $\arccos\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right) = \frac{5\pi}{6}$.
f) $\tan$ est $\pi$-périodique : $\tan\frac{5\pi}{6} = \tan\left(\frac{5\pi}{6} - \pi\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)$, et $-\frac{\pi}{6} \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$. Donc $\arctan\left(\tan\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
a) $-\frac{\pi}{6}$ ; b) $\frac{3\pi}{4}$ ; c) $-\frac{\pi}{3}$ ; d) $\frac{\pi}{3}$ ; e) $\frac{5\pi}{6}$ ; f) $-\frac{\pi}{6}$