a) Calculer $\sin\left(\arccos\frac{1}{3}\right)$.
b) Calculer $\tan\left(\arcsin\frac{3}{5}\right)$.
c) Pour tout réel $x$, exprimer $\cos(2\arctan x)$ comme une fraction rationnelle en $x$. En déduire $\cos(2\arctan 2)$.
Poser $\theta$ égal à l'arc considéré et noter dans quel intervalle se trouve $\theta$ : cela fixe le signe de $\cos\theta$ ou de $\sin\theta$.
Utiliser $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, ou $\cos^2\theta = \frac{1}{1 + \tan^2\theta}$.
Pour c), $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$.
a) Soit $\theta = \arccos\frac{1}{3} \in [0, \pi]$. Sur cet intervalle $\sin\theta \geq 0$, et $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$. Donc $$\sin\left(\arccos\frac{1}{3}\right) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$
b) Soit $\theta = \arcsin\frac{3}{5} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. On a $\cos\theta \geq 0$ et $\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, donc $\cos\theta = \frac{4}{5}$. Comme $\cos\theta \neq 0$, $\tan\theta$ est défini et $$\tan\left(\arcsin\frac{3}{5}\right) = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}.$$
c) Soit $x \in \mathbb{R}$ et $\theta = \arctan x$. D'après le cours, $\cos^2\theta = \frac{1}{1 + \tan^2\theta} = \frac{1}{1 + x^2}$. Par la formule de duplication : $$\cos(2\arctan x) = 2\cos^2\theta - 1 = \frac{2}{1 + x^2} - 1 = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}.$$ Avec $x = 2$ : $\cos(2\arctan 2) = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}$.
Contrôle : $\arctan 2 \in \left]\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right[$ car $2 > 1$, donc $2\arctan 2 \in \left]\frac{\pi}{2}, \pi\right[$, où le cosinus est négatif. C'est cohérent.
a) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ ; b) $\frac{3}{4}$ ; c) $\frac{1-x^2}{1+x^2}$, et $\cos(2\arctan 2) = -\frac{3}{5}$