Prépa, 1re année › Fractions rationnelles › Zéros et pôles
Zéros et pôles : définition (MPSI)
Définition
Zéros et pôles
Soit $F\in\mathbb{K}(X)$ non nulle, de forme irréductible $\dfrac{P}{Q}$.
- Un zéro (ou racine) de $F$ est une racine de $P$ ; sa multiplicité est sa multiplicité comme racine de $P$.
- Un pôle de $F$ est une racine de $Q$ ; sa multiplicité est sa multiplicité comme racine de $Q$.
Comme $P\wedge Q=1$, $P$ et $Q$ n'ont aucune racine commune : un élément de $\mathbb{K}$ ne peut pas être à la fois zéro et pôle.
Attention
Toujours passer par la forme irréductible
La fraction $\dfrac{X^2-1}{X-1}$ n'a pas de pôle en $1$ : elle est égale au polynôme $X+1$. De même $\dfrac{X(X-2)}{X^2(X-2)^3}=\dfrac{1}{X(X-2)^2}$ a un pôle simple en $0$ et un pôle double en $2$. Avant de lire pôles et multiplicités, on simplifie.
S’entraîner
- Forme irréductible, zéros et pôles
- Trois pôles simples
- De C à R : la fraction 1/(X^3+1)
- Somme télescopique avec pôles doubles
- Coefficients binomiaux et fraction à n+1 pôles