Décomposer une fraction à deux pôles doublesCombiner limite et évaluation pour trouver les coefficientsCalculer une somme télescopique
On pose $F=\dfrac{2X+1}{X^2(X+1)^2}$.
- Décomposer $F$ en éléments simples sur $\mathbb{R}$.
- Pour $n\geqslant1$, calculer $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}$.
- Déterminer la limite de $S_n$.
Indice 1
Écrire $F=\frac aX+\frac b{X^2}+\frac c{X+1}+\frac d{(X+1)^2}$ ; $b$ et $d$ s'obtiennent directement.
Indice 2
La limite de $xF(x)$ donne une relation entre $a$ et $c$ ; une évaluation en $1$ en donne une autre.
Indice 3
Reconnaître $g(k)-g(k+1)$ avec $g(k)=\frac1{k^2}$.
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