Décomposer en éléments simples sur $\mathbb{R}$ la fraction $$F=\frac{X+5}{(X-1)(X+2)(X-3)}.$$ Vérifier le résultat de deux façons.
La partie entière est nulle : comparer les degrés.
Pour le pôle $1$, multiplier par $X-1$ et évaluer en $1$.
Pour vérifier : la limite de $xF(x)$ en $+\infty$, puis la valeur en $0$.
Le numérateur a pour seule racine $-5$, qui n'est pas racine du dénominateur : l'écriture est irréductible. On a $\deg F=1-3=-2<0$, donc la partie entière est nulle. Les pôles $1$, $-2$, $3$ sont simples : $$F=\frac{a}{X-1}+\frac{b}{X+2}+\frac{c}{X-3}.$$ Pour un pôle simple, le coefficient s'obtient en multipliant par le facteur correspondant puis en évaluant : $$a=\frac{1+5}{(1+2)(1-3)}=\frac{6}{-6}=-1,\qquad b=\frac{-2+5}{(-2-1)(-2-3)}=\frac{3}{15}=\frac15,\qquad c=\frac{3+5}{(3-1)(3+2)}=\frac{8}{10}=\frac45.$$ Donc $$F=-\frac{1}{X-1}+\frac{1}{5(X+2)}+\frac{4}{5(X-3)}.$$ Vérification 1. Comme $\deg F=-2$, $xF(x)\to0$ en $+\infty$, donc $a+b+c$ doit être nul : $-1+\frac15+\frac45=0$.
Vérification 2. $F(0)=\dfrac{5}{(-1)(2)(-3)}=\dfrac56$. La décomposition donne $\dfrac{-1}{-1}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{4}{-15}=\dfrac{30+3-8}{30}=\dfrac{25}{30}=\dfrac56$.
$F=-\dfrac{1}{X-1}+\dfrac{1}{5(X+2)}+\dfrac{4}{5(X-3)}$