Prépa, 1re année › Fractions rationnelles › Une fraction est déterminée par ses valeurs
Une fraction est déterminée par ses valeurs : énoncé (MPSI)
Propriété
Une fraction est déterminée par ses valeurs
Si $F,G\in\mathbb{K}(X)$ vérifient $F(x)=G(x)$ pour une infinité de valeurs $x$ (hors pôles), alors $F=G$.
Démonstration : Une fraction est déterminée par ses valeurs
Démonstration
Détermination par les valeurs
Écrivons $F-G=\dfrac{A}{B}$ sous forme irréductible. Pour une infinité de $x$ qui ne sont pas pôles, $A(x)=B(x)(F(x)-G(x))=0$. Le polynôme $A$ a une infinité de racines, donc $A=0$ et $F=G$.
Remarque
Conséquence pratique
On peut raisonner sur les fonctions (évaluation en un point, limite en $+\infty$, parité) pour établir des égalités entre fractions. C'est ce qui justifie toutes les méthodes de calcul de coefficients de la suite du chapitre.
S’entraîner
- Forme irréductible, zéros et pôles
- Trois pôles simples
- Un pôle double et un pôle simple
- Élément de seconde espèce et primitive
- Pôle triple et calcul d'intégrale
Dans le cours
Fractions rationnelles : Une fraction est déterminée par ses valeurs