Exercice corrigé : De C à R : la fraction 1/(X^3+1)

1. Les solutions de $z^3=-1$ sont $-1$, $u=e^{i\pi/3}$ et $\overline u=e^{-i\pi/3}$. Ce sont des racines simples de $Q=X^3+1$ (trois racines distinctes pour un polynôme de degré $3$). $\deg F=-3$ : partie entière nulle. En un pôle simple $a$, le coefficient vaut $$\frac{1}{Q'(a)}=\frac{1}{3a^2}=\frac{a}{3a^3}=-\frac a3.$$ Donc $$\frac{1}{X^3+1}=\frac{1}{3(X+1)}-\frac{u}{3(X-u)}-\frac{\overline u}{3(X-\overline u)}.$$

2. On a $u+\overline u=2\cos\frac\pi3=1$, $u\overline u=1$, et $(X-u)(X-\overline u)=X^2-X+1$. On regroupe : $$\frac{u}{X-u}+\frac{\overline u}{X-\overline u}=\frac{u(X-\overline u)+\overline u(X-u)}{X^2-X+1}=\frac{(u+\overline u)X-2u\overline u}{X^2-X+1}=\frac{X-2}{X^2-X+1}.$$ Donc $$\frac{1}{X^3+1}=\frac{1}{3(X+1)}-\frac{X-2}{3(X^2-X+1)}.$$ Vérification en $0$ : $\frac13+\frac23=1=F(0)$.

3. On travaille sur $]-1,+\infty[$, qui contient $[0,1]$. On écrit $x-2=\dfrac12(2x-1)-\dfrac32$ et $x^2-x+1=\left(x-\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2$. Une primitive de $\dfrac{1}{x^2-x+1}$ est $\dfrac{2}{\sqrt3}\arctan\dfrac{2x-1}{\sqrt3}$. D'où une primitive de $\dfrac{1}{1+x^3}$ : $$G(x)=\frac13\ln(x+1)-\frac16\ln(x^2-x+1)+\frac{1}{\sqrt3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt3}.$$ (Le coefficient de l'arctangente vient de $-\frac13\cdot\left(-\frac32\right)\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$.)

$G(1)=\dfrac{\ln2}{3}-0+\dfrac{1}{\sqrt3}\cdot\dfrac\pi6$ et $G(0)=0-0+\dfrac{1}{\sqrt3}\cdot\left(-\dfrac\pi6\right)$. Donc $$I=\frac{\ln2}{3}+\frac{\pi}{3\sqrt3}\approx0{,}836.$$

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